Định lý cử tri trung vị

ĐỊNH LÝ CỬ TRI TRUNG VỊ

Hay tại sao các chính trị gia lại chuyển đến trung tâm

Jørgen Veisdal

Trong kinh tế học vi mô và lý thuyết trò chơi, định lý cử tri trung vị phát biểu rằng

“Trong một hệ thống biểu quyết theo nguyên tắc đa số, ứng cử viên hoặc đảng được cử tri trung vị ưa thích nhất sẽ trúng cử.”

Nói cách khác, ứng cử viên ưa thích của những người nằm ở giữa của phân phối xác suất sẽ quyết định người chiến thắng trong cuộc bầu cử. Do đó, về mặt trực giác, người ta có thể sẽ nghi ngờ về khả năng dự đoán của mô hình này (đối với chính trị hiện nay), cụ thể:

Các ứng viên sẽ tự định vị mình xung quanh vị trí trung tâm.

Định Lý này dựa trên hai giả định chính:

• Có thể phân bổ các ứng cử viên hoặc đảng dọc trên một trục theo một phổ chính trị; và
• Sở thích của các cử tri là đơn đỉnh, nghĩa là các cử tri có một lựa chọn mà họ thích hơn các lựa chọn còn lại;

Một mô hình biểu quyết đơn giản

Nguyên lý của định lý cử tri trung vị được minh họa thành công trong một bài giảng của nhà kinh tế học Ben Polak tại Đại học Yale, các bạn có thể truy cập bài giảng miễn phí tại đây, hoặc tóm tắt giảng tại đây. Mô hình của ông rất đơn giản như sau:

Một mô hình bầu cử đơn giản (Polak, 2007)

Hai ứng cử viên chọn vị trí của mình dọc theo một phổ chính trị từ 1-10:

Hãy tưởng tượng có thể là các vị trí 1-3 thể hiên quan điểm tả phái và các vị trí 8-10 thể hiên quan điểm hữu phái. Giả sử rằng có 10% cử tri ở mỗi vị trí (phân phối đều). Lại giả sử các cử tri sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên có quan điểm gần với quan điểm của họ nhất. Nếu kết quả cuộc bầu chọn là bất phân thắng bại, số phiếu sẽ được phân chia 50%/50% cho hai ứng viên.

Ben Polak (1961-)

Vấn đề đặt ra cho cả hai ứng cử viên là họ nên chọn đứng ở đâu trên phổ chính trị từ 1 đến 10 để tối đa hóa lượng phiếu cho mình.

Đầu tiên, đặt mình là ứng viên 1, giả sử ứng viên 2 chọn đứng ở điểm ngoài cùng bên trái, tức là vị trí 1. Khi đó, câu hỏi chúng ta cần tự đặt ra là liệu đứng ở vị trí 2 có phải là một chiến lược tốt hơn để tối đa hóa số phiếu của mình hay không. Về mặt hình thức, câu hỏi này tương đương với liệu u₁(2,1) > u₁(1,1) (tức là nếu ứng viên 2 chọn vị trí 1, thì lợi ích của ứng viên 1 khi chọn vị trí 2 có lớn hơn lợi ích khi chọn vị trí 1 – ND). Mỗi vị trí có tiềm năng nắm giữ 10% lượng cử tri và nếu cả hai ứng viên chọn cùng một vị trí, số phiếu sẽ được chia đôi, chúng ta biết rằng nếu cả hai chọn vị trí 1, tức là (1,1), chúng ta sẽ có 50% lượng bầu chọn. Tuy nhiên, nếu ứng viên 1 chọn vị trí 2, tức là (2,1), ứng viên 2 sẽ giành được 10% phiếu bầu ở vị trí 1, còn chúng ta sẽ giành được 90% số biểu quyết còn lại ở các vị trí 2-10 bởi vì theo giả định ban đầu của chúng ta, các cử tri sẽ bỏ phiếu cho ứng viên ở gần họ nhất:

u(1,2): Sự phân chia cử tri nếu ứng viên 1 chọn vị trí 1 khi ứng viên 2 chọn vị trí 2

Chúng ta có thể kết luận rằng nếu ứng viên 1 chọn vị trí 1, thì vị trí 2 sẽ là lựa chọn tốt cho chúng ta, hơn là chọn vị trí 1 (90% so với 50% lượng phiếu bầu).

Tiếp theo, vẫn đặt mình là ứng viên 1, giả sử ứng viên 2 sẽ đứng ở vị trí thứ 2 kể từ phía ngoài cùng bên trái, tức vị trí 2. Liệu rằng chọn vị trí 2 với chúng ta sẽ tốt cho hơn chọn vị trí 1? Về mặt hình thức, điều này tương đương với câu hỏi liệu u₁(2,2) > u₁(1,2). Khi đó, vì cả hai đều chọn cùng một vị trí (2,2), chúng ta biết rằng mình sẽ có được 50% với kịch bản này. Nếu chọn vị trí 1 thay vì vị trí 2, chúng ta sẽ ở trong kịch bản ngược lại với hình ở trên và lượng phiếu kỳ vọng sẽ là 10%. Do vậy, có thể kết luận rằng nếu ứng viên 2 chọn vị trí 2, chúng ta vẫn sẽ được lợi hơn nếu chọn vị trí 2 (50% so với 10% số phiếu).

Tiếp theo, lại là ứng viên 1, chúng ta giả sử rằng ứng viên 2 sẽ chọn vị trí thứ 3 kể từ ngoài cùng bên trái, tức là vị trí 3. Liệu chọn vị trí 2 với chúng ta vẫn tốt hơn chọn vị trí 1? Về mặt hình thức, giờ đây chúng ta đang hỏi liệu u₁(2,3) > u₁(1,3). Trong kịch bản đầu tiên, chúng ta giành được tất cả các cử tri ở vị trí 1 và tất cả các cử tri ở vị trí 2 (tương đương 20% số phiếu), trong khi ứng viên 2 giành được tất cả cử tri ở các vị trí 3-10 (tương đương 80%). Trong kịch bản thứ hai, chúng ta giành được tất cả các cử tri ở vị trí 1 và một nửa số cử tri ở vị trí 2 (15%). Trong bất kỳ kịch bản nào, chúng ta đều thấy rằng vị trí 2 sẽ tốt hơn so với vị trí 1 (20% > 15% lượng phiếu):

u(1,3): Sự phân chia cử tri nếu ứng viên 1 chọn vị trí 1 khi ứng viên 2 chọn vị trí 3

u(2,3): Sự phân chia cử tri nếu ứng viên 1 chọn vị trí 2 khi ứng viên 2 chọn vị trí 3.

Tiếp tục với tất cả các chiến lược chống lại chọn vị trí 1, chúng ta sẽ thấy rằng vị trí 2 luôn luôn thu được lợi ích cao hơn, tức là vị trí 2 vượt trội hơn hẳn vị trí 1. Do đó chúng ta có thể loại vị trí 1 ra khỏi chiến lược khả thi, bởi vì nó không bao giờ tốt hơn vị trí 2. Một cách đối xứng, chúng ta có thể phân tích tương tự với vị trí 10 và 9:

u(2,3) trong phổ chính trị rút gọn

Loại vị trí 1 và 10 ra khỏi các chiến lược khả thi để tối đa hóa lượng phiếu bầu, tiếp theo chúng ta có thể thực hiện cách phân tích tương tự, nhưng bây giờ là với một mô hình rút gọn gồm các vị trí 2-9, bởi vì vị trí 1 và 10 đã bị loại ra. Đúng như dự đoán, phân tích vị trí 2 và 3 (hay với 9 và 8) sẽ cho cùng kết quả, v.v.. Cuối cùng, với logic tương tự, mô hình của chúng ta sẽ rút gọn còn 2 vị trí khả thi, 5 và 6, được gọi là “trái và phải”.

u(5,6)=u(6,5) trong quang phổ chính trị rút gọn sau khi loại bỏ các chiến lược bị khống chế.

Việc phân tích mô hình rút gọn này sẽ cho thấy rằng nếu chúng ta dự đoán ứng viên 2 sẽ chọn vị trí bên phải, sẽ là hợp lý nếu chúng ta chọn vị trí bên trái. Nếu chúng ta kỳ vọng ứng viên 2 chọn bên trái, chúng ta nên đứng ở bên phải:

u(5,6)=u(6,5): Sự phân chia cử tri nếu ứng viên 1 chọn vị trí 5 và ứng viên 2 chọn vị trí 6

Nói một cách khác, phát hiện của chúng ta chính là điều mà định lý cử tri trung vị dự đoán, cụ thể:

Các ứng viên sẽ tự định vị mình xung quanh vị trí trung tâm.

Rõ ràng, giống như với bất kỳ mô hình nào, mô hình của chúng ta đã diễn tả bản chất của định lý cử tri trung vị cùng với các hạn chế của nó, bao gồm:

• Trong thực tế các cử tri không phân bố đồng đều (10% tại mỗi vị trí);
• Thường sẽ có nhiều hơn hai ứng cử viên trong một cuộc bầu cử;
• Trong thực tế các ứng cử viên sẽ không dễ dàng chọn vị trí cho bản thân, vị trí của họ phải đáng tin cậy;
• Ngay cả trong các cuộc trưng cầu dân ý, thường sẽ có nhiều hơn một vấn đề được đưa ra biểu quyết;

và v.v.

Trái: Harold Hotelling (1895-1973). Phải: Nghiên cứu của Hotelling năm 1929 có tên “Sự ổn định trong cạnh tranh” (Stability in Competition), hình thái nguyên gốc của định lý cử tri trung vị nổi tiếng bắt nguồn đầu tiên từ đây.

Lịch sử

Sự vận động và các dự đoán của định lý cử tri trung vị đã đánh dấu sự xuất hiện lần đầu tiên trong một nghiên cứu của nhà kinh tế học Harold Hotelling năm 1929 – “Sự ổn định trong cạnh tranh” (Stability in Competition), trong đó nhân tiện Hotelling ghi nhận rằng các cương lĩnh của các ứng cử viên chính trị dường như hội tụ qua các cuộc bầu cử theo nguyên tắc đa số. Nghiên cứu của ông xem xét vị trí của các cửa hàng của hai người bán dọc theo một đoạn thẳng, ở đó những người mua hàng được phân bố không đồng đều. Dự đoán của mô hình này, ngày nay được biết đến với tên gọi “Quy luật Hotelling”, đó là, trong nhiều thị trường, những người sản xuất sẽ có xu hướng làm cho sản phẩm của họ giống nhau nhất có thể, hay còn gọi là “nguyên lý khác biệt hoá tối thiểu”.

Anthony Downs (1930-)

Phân tích hình thức về nguyên lý của Quy luật Hotelling trong các hệ thống biểu quyết theo đa số đã được nêu ra trong một nghiên cứu liên quan của nhà kinh tế học Duncan Black năm 1948, có tiêu đề “Bàn về cơ sở của việc ra quyết định tập thể” (On the Rationale of Group Decision-making). Được truyền cảm hứng bởi Adams Smith, Anthony Downs đã phát triển công trình của Black trong cuốn sách năm 1957 của mình, mang tên “Một lý thuyết Kinh tế về Hành động Chính trị trong Chế độ Dân chủ” (An Economic Theory of Political Action in Democracy).

_______________
Bài luận này là một phần trong chuỗi câu chuyện về các chủ đề liên quan đến toán học, được đăng tải trên Cantor’s Paradise, một chuyên mục hàng tuần trên Medium. Cảm ơn vì đã theo dõi!

Nguyễn Mai Hạ dịch

Nguồn: The Median Voter Theorem, Medium, Oct 11, 2019