Hữu hạn và vô cùng

Khoa học kỹ thuật và văn hoá ‒ 4

HỮU HẠN VÀ VÔ CÙNG

Hàn Thuỷ

“Nắm bắt tư tưởng khoa học hiện đại trong biện chứng của nó...”
(Gaston Bachelard, le nouvel esprit scientifique)

1. Biện chứng và khoa học

Biện chứng? khái niệm sơ đẳng này của người học triết hay làm khoa học nhân văn là cái gì vô cùng bí hiểm với phần đông người làm khoa học chính xác (trong đó có tác giả), vậy xin cứ mạn phép múa rìu qua mắt thợ mà tự hỏi “biện chứng là cái gì vậy?”. Suy theo từ nguyên thì ‘biện chứng’ dịch chữ ‘dialectique’, phiên âm chữ Hy lạp ‘dialektikè’; chữ này gồm ba gốc: ‘dia’ là có hai bên, ‘lexis’ là ngôn từ và ‘technè’ là cái cách, cái thuật. Tóm lại trong văn hoá Hy Lạp cổ đại ‘dialectique’ có nghiã là nghệ thuật biện luận, tranh luận giữa hai bên, ‘technique de dialogue’; rõ ràng một nguồn gốc rất ư ‘nhân văn’. Bước thứ hai cũng rất nhân văn là quan niệm của Platon, theo đó biện chứng là sự trao đổi những ý kiến đối chọi để đi đến đồng ý trên một cái nhìn cao hơn, bao quát hơn dung hoà được cả hai bên (theo dictionnaire de la philosophie, Jacqueline Russ chủ biên, nxb Armand Colin). Từ đó đẻ ra ba ngôi: chính đề, phản đề, tổng hợp; phương pháp làm luận văn được giảng dạy trong trường trung học; đến bước thứ ba này thì cái ‘hai bên’ được trừu tượng hoá, nó lẩn vào trong tư tưởng của một người để trở thành một phương pháp suy luận. Bước thứ tư: tại sao phương pháp suy luận biện chứng tỏ ra có hiệu quả, hay ít ra là có một sức hấp dẫn mãnh liệt? phải chăng vì nó thể hiện được cuộc đời? bản thân cuộc đời biến chuyển theo dòng biện chứng, nó chứa đầy các khía cạnh mâu thuẫn đồng hiện hữu nhưng đối chọi nhau, theo thời gian có thể phủ định lẫn nhau và có thể làm nảy sinh các hiện tượng khác. Các nhà tư tưởng biện chứng nhìn đâu cũng thấy mâu thuẫn, phủ định, phủ định của phủ định, v.v. dù anh theo triết thuyết duy tâm ‘tư tưởng có trước’ hay anh theo triết thuyết duy vật ‘vật chất có trước’! Ðến đây thì thế giới tư tưởng và thế giới vật chất khách quan được hoà vào trong một quan hệ khó tách rời, đó là quan hệ... biện chứng giữa cái trừu tượng và cái cụ thể.

A. Einstein (1879-1955)

Parménide d'Elée

Ðối với người làm khoa học chính xác hình như đây là một trò chơi chữ vô bổ, nếu không là ấu trĩ như kiểu biện chứng giữa hạt lúa và cây lúa. Phương pháp luận trong khoa học chính xác là định đề, định luật và diễn dịch thành định lý, hệ luận, công thức, v.v. cả nền khoa học cổ điển nhằm tiến đến một khối đồng nhất trong đó có A thì không có ‘không A’, chỉ cần đến luận lý hình thức, không có chỗ cho luận lý biện chứng. Ông tổ của khoa học tây phương không phải là Héraclide mà là Parménide d'Elée, người chủ trương rằng vũ trụ là một, bất biến, mọi thay đổi chỉ là ảo tưởng. — đây cần hiểu theo nghĩa rộng, theo câu Parménide đã nói ‘không có gì bỗng từ hư vô trở thành hiện hữu’, để thấy ảnh hưởng của quan điểm này trong thuyết tất định tuyệt đối; không có gì thay đổi (theo nghĩa xẩy ra một cách bất ngờ) với người nào nắm rõ mọi khía cạnh của thực tại, biết rõ tuyệt đối hiện tại tức là biết rõ tuyệt đối tương lai. Trong nghĩa đó thì Einstein là người Eléate cuối cùng, vì vũ trụ không-thời-gian trong thuyết tương đối rộng của ông là một cấu trúc toán học duy nhất, độc lập với thời gian vì bao gồm cả thời gian, bản thân thời gian cũng là một chiều của vũ trụ.

N. Copernic (1473 - 1543)

Mặc dù người viết bài này không thể hiểu nổi tại sao trong tư tưởng biện chứng lại chỉ có nói đến số hai, cớ sao luôn luôn dùng mô hình ‘A và không A’, mà không ‘A và B và C và vân vân’? nhưng phải công nhận rõ ràng cuộc đời thường hay chia hai: trừu tượng và cụ thể, điện tử âm và điện tử dương, năng lượng và vật chất, quá khứ và tương lai, chủ thể và khách thể (còn quên... đàn ông và đàn bà, người đánh máy). Cũng như vậy có thể nói những khủng hoảng và cách mạng trong tư tưởng khoa học từ Copernic (nửa đầu thế kỷ 16) đến nay chủ yếu nằm trong cái biện chứng giữa gián đoạn/hữu hạn và liên tục/vô cùng. ‘Biện chứng’ trong nghĩa sự vận động của một cặp phạm trù trái ngược, không thể hiểu cái này nếu không có cái kia, và khủng hoảng rồi cách mạng xảy ra trong tư tưởng khoa học lúc mà một khía cạnh từ lu mờ trở nên thắng thế, ‘phủ định’ cái bóng của nó. Phương pháp khoa học không biện chứng, nhưng sự vận động của phương pháp ấy thì lại hình như rất biện chứng!

2. Trí tuệ con người giữa hữu hạn và vô cùng

Câu nói của nhà toán học Ðức Jacobi (1804-1851) “Mục đích của khoa học là vì danh dự của trí tuệ con người” nay đã thành nổi tiếng sau khi được nhà toán học lớn người Pháp Dieudonné lấy làm tựa đề cho cuốn hồi ký của mình xuất bản cách đây vài năm. Danh dự của trí tuệ con người là điều ám ảnh các nhà toán học, vì cũng một đại toán học gia khác, Hilbert (1862-1943), người được coi là đã vạch phương hướng cho nghiên cứu toán của thế kỷ 20, đã nói: “làm sáng rõ bản chất của vô tận là điều tối cần thiết cho danh dự của trí tuệ con người”. Ðủ thấy hiểu cho đến rốt ráo thế nào là hữu hạn và thế nào là vô cùng thật không dễ.

Aristote (384-322 BC)

Jacob Jacobi (1804-1851)

Biện chứng giữa hữu hạn và vô cùng đã bắt đầu vận động trong tư tưởng con người từ thời cổ đại, có Parménide và Zénon d'Elée một bên, với những nghịch lý nhằm chứng minh những gián đoạn trong không gian chỉ là ảo tưởng, chân lý là một thể duy nhất, bất biến, vĩnh hằng; và Leucippe cùng Démocrite một bên cho rằng vũ trụ là một khoảng không vô tận trong đó vật chất chuyển động không ngừng, và vật chất thì gồm vô số các nguyên tử hữu hạn rất nhỏ... Một vài câu trong kinh Phật cho thấy đây là cũng là một vấn đề siêu hình ám ảnh trong tư tưởng Ấn Ðộ cổ đại: “Bạch thế tôn,... vũ trụ thường còn hay không thường còn, vũ trụ vô hạn hay hữu hạn...” (kinh Cula-Malunkya, trích theo l'enseignement du Boudha, Walpola Rahula). Trong thời gian từ Trung Cổ qua Phục Hưng cho tới thế kỷ ánh sáng, như đã có dịp trình bày, biện chứng này vẫn biến chuyển, nhiều khi trong gầm thét thịnh nộ. Ðể phủ định Aristote và Ptolémée giá phải trả đã là giàn hoả thiêu Bruno.

Một hình thể mắt con người nhìn ra được, trí tuệ nhận thấy được, là vì sao? Vì nó hiện ra như một sự gián đoạn giữa nó và những cái không phải nó. Trí tuệ nhận biết và phân biệt được các vật thể trong thế giới tự nhiên tức là nhận ra những gián đoạn, đếm được một, hai, ba. Vậy ở giữa hai gián đoạn là gì? phải nói là một vùng không gián đoạn, tức là một vùng liên tục. Cho nên trực giác về sự liên tục cũng là trực giác về sự gián đoạn, như hình với bóng, thế nhưng để xây dựng được khái niệm toán học về sự liên tục thì thật cả một công trình trầy da tróc vảy trong nhiều thế kỷ (nghe vậy cũng đỡ mặc cảm, người đánh máy), và công trình này, rút cục lại vẫn phải, và chỉ, yêu cầu trực giác của mọi người về cái gián đoạn, tức là cái hữu hạn, là giống nhau: nếu hiện nay chúng ta đồng ý đây là chữ ‘A’ thì lát nữa chúng ta vẫn sẽ cùng nhận ra một chữ ‘A’, nếu không có cái đồng ý tối thiểu đó thì dù dở hơi tới đâu cũng không thể làm toán được. Ðó là khuynh hướng ‘định đề hoá’ (axiomatique) trong toán hiện đại. Nhưng hãy khoan đi quá xa, xin trở lại những ám ảnh về gián đoạn và liên tục của Zénon d'Élée và Aristote, nhiều điều lý thú bỏ qua rất uổng, và chúng ta sẽ thấy, đó cũng là những ám ảnh về hữu hạn và vô cùng.

3. Mũi tên bay mà không bay

Blaise Pascal (1623-1662)

Nghịch lý của Zénon nếu kể lại đầy đủ (nhưng xin phóng tác cho gọn) mới là hai gọng kìm bằng thép nguội. Một: nếu thời gian được cấu tạo bởi từng lúc (instant) rời rạc nhận ra được, thì trong mỗi lúc đó không thể có gì chuyển động và mũi tên không bay. Hai: nếu không thì có thể chia khoảng cách làm hai đến vô tận và như thế nếu mũi tên có bay cũng chẳng bao giờ tới đích. Chính ở đây có một khám phá vĩ đại về mối liên hệ giữa liên tục và vô cùng tận, cho nên mặc dù ngang ngược không ai bằng, những nghịch lý của Zénon vẫn phải được nghiên cứu nghiêm chỉnh. Phê phán Zénon là phải đưa ra cái nhìn thống nhất về tự nhiên bao gồm được cả hai điểm: không gian và thời gian là liên tục tức là chia được tới vô cùng, nhưng mũi tên vẫn bay tới đích. Ðể giải quyết nghịch lý này Aristote đẻ ra hai khái niệm: cái vô cùng tận tiềm năng (infini en potentiel) và cái vô cùng tận chứng thực được (infini en acte); và ông cho rằng có nghịch lý là vì lẫn lộn hai thứ vô cùng tận này. Cái vô cùng tận tiềm năng là có thực vì thế có chuyển động, nhưng con người chỉ có thể chứng thực được cái hữu hạn vì thế cái vô cùng tận chứng thực được là không thể có, cho nên lý luận như Zénon chia đôi mãi mãi là sai lầm. Tới thời Trung cổ luận điểm này trở thành: “chỉ có Thượng Ðế mới là vô hạn, thế giới do Thượng đế sáng tạo là hữu hạn và trí tuệ con người chỉ biết được cái hữu hạn”, kẻ nào giám nói rằng vũ trụ là vô cùng tức là đã ngược lại giáo điều, đốt. Ngoài ra Aristote cũng truyền lại, theo Platon, hai thứ vô cùng tận mà ông gọi một cách rất cụ thể là vô cùng tận theo tính chia (infini selon la division) và vô cùng tận theo tính cộng (infini selon l'addition), và xin độc giả bỏ một phút xem tại sao đó là nguồn gốc của hai chữ vô cùng nhỏ và vô cùng lớn sẽ ám ảnh Pascal sau này. Cả hai đều hiện hữu dưới dạng tiềm năng và đều không hiện hữu dưới dạng chứng thực được.

Isaac Newton (1643-1727)

Paul J Cohen (1934-2007)

Thực ra trong luận điểm của Aristote không chỗ nào có thể phản bác, ngay cả hiện nay và mãi mãi không có gì ghi lại được vô hạn các điểm trong một quỹ đạo. Chỉ có một điều rằng, như vậy không có nghĩa là con người không có quyền lý luận về vô tận, vì nói về vô tận tiềm năng là bước đầu lý luận về vô tận rồi còn gì nữa. Tuy nhiên, lý luận và tính toán với vô tận một cách hiệu quả thì phải đợi thêm hai thiên niên kỷ tới Newton và Leibniz, như chúng ta đã biết. Còn như giải quyết dứt điểm cái khái niệm về vô tận cho không còn thắc mắc gì nữa về cái danh dự của trí tuệ con người thì đó là công trình của lôgíc toán hiện đại, chủ yếu chung quanh lý thuyết tập hợp (théorie des ensembles) phát triển mạnh từ đầu thế kỷ hai mươi tới nay, và vấn đề lớn cuối cùng có tên là “giả thiết về sự liên tục” (hypothèse du continu) chỉ mới được giải quyết bởi P. J. Cohen năm 1966. Cho nên một số người bị chết thiêu vì lãnh đạo thời Trung cổ ngu dốt cũng là chuyện không tránh khỏi, có ai tính xem thời nay bao nhiêu người chết khốn khổ vì lãnh đạo ngu dốt ở châu Á, châu Âu, châu Phi, châu Mỹ?

4. Toán vi tích phân và cơ học thuần lý

d'Alembert (1717-1783)

René Descartes (1596-1650)

Cơ học cổ điển phát sinh từ Newton cho đến trước thuyết tương đối ngày xưa còn được gọi là cơ học thuần lý (mécanique rationnelle), trong đó khái niệm về vô cùng lớn được cụ thể hoá bởi không gian Euclide ba chiều quy chiếu theo hệ thống toạ độ Descartes. Ðến lúc đó thì người ta đã chấp nhận dễ dàng cái vô tận cộng tiềm năng, cái vô cùng lớn của vũ trụ, nhà thờ đã từ lâu chiếm hữu lý luận của chính kẻ đã bị đốt là Bruno: Thế giới tự nhiên do Thượng đế sáng tạo cho nên phải vô tận chứ, nói thế giới hữu hạn tức là đã hạn chế khả năng sáng tạo của Thượng đế! Ðẻ ra nhiều vấn đề chính vì cái vô cùng nhỏ. Và tiến bộ thời Newton và Liebniz chính là việc sử dụng trong tính toán cái khái niệm vi phân, ‘dx’. Hiểu rõ cái ‘dx’ này thì đã là nắm được một nửa chương trình toán năm đầu đại học, cho nên ở đây không thể dài dòng, nói rất vắn tắt thì có hai điểm: một là, cái dx không đại diện một trị số nào cả, mà nó là một ký hiệu toán học cho phép viết một mệnh đề đúng “dx nhỏ hơn epsilon”, với bất cứ trị số nào mà người ta có thể gán cho epsilon (tương tự như vậy, người ta định nghĩa cái vô cực như một ký hiệu toán học cho phép viết “vô cực lớn hơn A”, với bất cứ trị số nào mà người ta có thể gán cho A). Hai là, trong những điều kiện xác định được, người ta có thể cộng tới vô tận cái một chuỗi số ngày càng nhỏ để đưa tới một kết quả hữu hạn, chẳng hạn cộng một nửa (1/2) với một nửa của một nửa (1/4), với một nửa của 1/4, mãi mãi, sẽ ra con số ‘1’, cho Zénon yên nghỉ ngàn thu. Phải nói rằng quá trình ‘thuần hoá' cái dx tuy bắt đầu với Newton và Liebniz nhưng còn kéo dài tới giữa thế kỷ 19 với nhiều nhà toán học, như những kỵ sĩ lỗi lạc đã vào sân cát để bắt con ngựa chướng này chịu thắng yên cương; như Taylor (1688-1731) ở Anh, d'Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813), Cauchy (1789-1857) ở Pháp, rồi Bolzano (1781-1848) ở Tiệp, Euler (1707-1783), Weierstrass (1816-1897) ở Ðức... đó là chỉ kể những tên lớn nhất mà bất cứ sinh viên toán nào cũng thuộc nằm lòng. Những bài bản chính là: cộng nhiều vô tận một chuỗi số ngày càng nhỏ như thí dụ ở trên, tức là khái niệm giới hạn; chia cái vô cùng nhỏ cho cái vô cùng nhỏ (dx/dy) tức là khái niệm đạo hàm; cộng nhiều tới vô tận những cái vô cùng nhỏ, tức là khái niệm tích phân (intégration). Trong một thời gian dài người ta đã làm toán với những khái niệm này bằng trực giác, chứ không phải lúc nào cũng hoàn toàn chặt chẽ, và ngay cả những nhà toán học lớn nhất cũng có lúc ‘chứng minh’ sai, bị con ngưạ chướng vô cùng nhỏ hất xuống bãi cát. Cho tới khi con ngựa này thuần tính thì các nhà toán học sẽ lại bày ra những trò chơi khác.

Nhưng phải chăng toán học chỉ là trò chơi của trí tuệ? Những khái niệm toán học và những bài toán từ đâu ra? Toán học, một sản phẩm của trí tuệ con người, là một biểu hiện của cái biện chứng giữa trừu tượng và cụ thể nên nó cũng mang cái nhập nhằng của biện chứng ấy. Sự hình thành của những khái niệm toán là rõ ràng có nguồn gốc lịch sử và thực tế, nhưng nó lại bay ra khỏi thực tế để đi vào một thế giới ý tưởng như thế giới của Platon, hình như nhà toán học nào cũng chấp nhận cái thế giới ‘Platonique’ ấy. Tại sao vậy? phải chăng chính vì họ đã bỏ bao nhiêu công sức để gây dựng nên cái lâu đài lý tưởng đó, làm cho nó trở nên chặt chẽ, trong sáng rõ ràng, đến nỗi (đối với người làm toán) không có gì trong sáng rõ ràng hơn, vì thế không thể bảo rằng các khái niệm toán học không có thực, chúng có thực vì chúng bền vững hơn bất cứ vật thể nào của đời thường. Chỉ có thể nói rằng chúng có thực trong một thế giới khác thế giới đời thường.

Cơ học thuần lý, khởi đi từ lý thuyết vật lý của Newton, rõ ràng được thúc đẩy bởi những yêu cầu cụ thể về kỹ thuật của thời đại: tính toán quỹ đạo, tính toán diện tích, thể tích của các vật thể tự nhiên hay nhân tạo... các nhà làm sử khoa học hiện nay cho rằng trước Newton, khái niệm vi phân và tích phân đã được sử dụng một cách ‘thủ công nghiệp’ bởi Archimède để tính toán. Chẳng qua là muốn tính thể tích của một vật nào đó chỉ việc cắt ra thành từng lát nhỏ, tính riêng mỗi lát rồi cộng cả lại. Nếu làm thế với những lát ngày càng mỏng thì hiển nhiên kết quả ngày càng chính xác. Vì vậy, nếu nói theo kiểu Aristote thì chẳng qua cái dx chỉ là tượng trưng cho sự tính toán ngày càng đúng, nhưng chỉ luôn luôn gần đúng đó, vì quá trình tính toán cụ thể là hữu hạn, không có cái vô tận chứng thực được nên không có sự tính toán tuyệt đối chính xác, điều này hiện nay trở thành hiển nhiên với phương pháp tính toán tự động bằng máy tính điện tử. Có thể tưởng tượng Aristote sống lại sẽ vuốt râu gật gù mà nói rằng: “thì ra hậu sinh khả uý, ta đã ngừng ở đó không dám đi xa hơn, còn chúng nó dám sáng tạo ra cái dx để làm gạch nối giữa vô tận thực chứng và vô tận tiềm năng, rồi giỡn chơi với nó, hoá ra là vô cùng tiện ích!”.

5. Khủng hoảng và cách mạng nền tảng

David Hilbert (1862-1943)

Kurt Godel (1906-1978)

Ðối với các nhà vật lý học, phần đông đệ tử Aristote, có thể đến thế là đủ. Nhưng các toán học gia, như ở trên đã nói, phần đông là đệ tử Platon (ít ra là trong khi làm toán), cái liên tục và cái vô tận lớn hay nhỏ mới là thế giới của họ. Công việc của họ là vừa xây dựng vừa chiêm ngưỡng thế giới đó để phát hiện những điều kỳ diệu. Cái vô tận và cái liên tục là trực giác đầu tiên, không có vấn đề chia đôi cái vô tận tiềm năng và cái vô tận chứng thực được. Việc ấy chỉ là sự áp dụng toán học trong tính toán của đời thường, xây dựng thế giới duy lý của toán học mới là công việc chủ yếu của họ, hay nói cách khác, họ phải đồng ý được với nhau một cách chắc như đinh đóng cột về vấn đề thế nào là cái vô tận, cái vô tận duy nhất đáng nói đến là cái mà Aristote gọi là cái vô tận tiềm năng. Ðiều ấy, ngay cả vào lúc cuối thế kỷ 19, vẫn còn mập mờ, vì thế có câu của Hilbert đã dẫn trên. Vì thế có sự khủng hoảng gọi là khủng hoảng nền tảng trong toán học, đưa đến cách mạng ‘toán hiện đại’. Khủng hoảng này lại đi trước một chút, hay có thể nói song song, với khủng hoảng trong vật lý lý thuyết. Những nhân vật chủ yếu của màn kịch này là Georg Cantor (1845-1918), David Hilbert (1862-1943), Giuseppe Peano (1858-1932), Friedrich L. G. Frege (1848-1925), Bertrand Russell (1872-1970)... và nhất là Kurt Godel (1906-1978). Phương pháp luận của trường phái định đề hoá này là gì? Phải định nghĩa được các vật thể toán học, kể cả cái vô tận, một cách duy nhất bằng một số chữ hữu hạn. Như thế phương pháp luận là chia làm hai bước: bước đầu xây dựng ngành luận lý học hình thức trong đó không chấp nhận khái niệm liên tục cũng như khái niệm vô tận, chỉ cần biết đếm từ một, hai, ba, cho tới một con số hữu hạn nhưng không cần biết lớn bao nhiêu. Lý do là vì luận lý học hình thức chỉ xác định những quy luật biến đổi các dòng ký hiệu viết ra được lên trang giấy, tất cả những gì con người viết ra từ cổ xưa đến nay và về sau mãi mãi sẽ là hữu hạn, cho nên theo đúng như Aristote, không có cái vô tận thực chứng. Sau nhiều khó khăn vì phải tránh mâu thuẫn, nghịch lý, người ta cũng hoàn chỉnh được công cụ luận lý chủ yếu hiện nay, đó là thuyết tập hợp. Sang bước thứ hai dùng những quy tắc luận lý học, đặc biệt là lý thuyết tập hợp, để xây dựng các vật thể toán học, đây là lúc có thể chơi chữ nói rằng: đi từ số không. Vì đúng là bước đầu (về mặt luận lý), người ta phải định nghĩa số không, rồi đến các con số 1, 2, 3... rồi đến đường thẳng, không gian v.v..

Georg Cantor (1845-1918)

Vậy một tập hợp có vô tận thành phần là gì? chính là khi nó ‘bằng’ một bộ phận của nó, thí dụ 1, 2, 3, 4, 5 rõ ràng là ‘bằng’ 2, 4, 6, 8, 10, ... Từ những kết quả của thuyết tập hợp người ta định nghĩa được một đường kẻ liên tục là một tập hợp vô tận những điểm, khác với luận cứ cổ điển từ Aristote cho rằng điểm và đường kẻ là hai loại vật thể khác nhau, vì theo như Aristote, nếu lấy một điểm ra khỏi một đường kẻ sẽ chẳng có thay đổi gì cả. Thế rồi người ta lại phát hiện ra là có nhiều thứ vô tận khác nhau, thứ vô tận tạm gọi là ‘đếm’ được như một hai ba bốn đến vô cùng là... vô cùng ít hơn thứ vô tận của các điểm trong một đường kẻ liên tục (được định nghĩa trong toán). Chính ở đây đặt ra ‘giả thiết liên tục’ đã nói ở trên; câu hỏi là: vậy giữa các vô tận đếm được và liên tục có còn cái thể loại vô tận nào ở giữa hay không? gọi là giả thiết vì các nhà toán học nghĩ là không, nhưng không chứng minh được. Cho tới Cohen cách đây mới gần 20 năm, chứng minh được rằng đó là một mệnh đề ‘bất khả chứng minh’ (indécidable); khái niệm ấy trong luận lý học có nghĩa là chấp nhận mệnh đề ấy thì sẽ có một vũ trụ toán A mà không chấp nhận thì sẽ có một vũ trụ toán B; nếu vũ trụ A không chứa mâu thuẫn thì vũ trụ B cũng không chứa mâu thuẫn. Tưởng cũng nên nhắc lại một hệ thống chứa mâu thuẫn là một hệ thống tự nó sụp đổ, vì từ một mâu thuẫn người ta có thể chứng minh bất cứ gì.

Ðã đến lúc bật mí một điều đau khổ của họ hàng nhà toán. Nếu hỏi: thế cái vũ trụ ý tưởng của các bạn, có chứng minh được là nó không hàm chứa mâu thuẫn không? thì các nhà toán học sẽ nhún vai quay mặt: ra mà hỏi Godel! Vì Godel đã chứng minh rằng: điều ấy bất khả chứng minh. Bất cứ một hệ thống định đề nào xác lập một vũ trụ toán trong đó có vô tận vật thể cũng là một hệ thống định đề không thể tự nó chứng minh tính không mâu thuẫn của nó.

6. Vũ trụ là hữu hạn hay vô cùng?

Còn cái vô cực, cái vô cùng lớn, số phận của nó ra sao? theo nguồn tin cuối cùng với tất những sự dè dặt thường lệ, cái vô cực đã chết với thuyết tương đối mở rộng của Einstein, vũ trụ rất lớn, lớn dã man, lớn kinh khủng... nói thế nào cũng được, nhưng không thể nói vũ trụ vô cùng lớn, vì theo cái lý thuyết thích hợp nhất hiện nay với mọi quan sát thực nghiệm này, thì sau khi nổ vĩ đại chào đời cách đây 15 tỷ năm, vũ trụ tiếp tục dãn nở, và như thế nó hữu hạn.

Diễn Đàn số 49, 02.1996

Hàn Thuỷ

Nguồn: Khoa học kỹ thuật và văn hoá ‒ 4, DienDan.Org