Điểm bất động
(các định lí và ứng dụng)
Fixed point theorems and applications
® Giải Nobel: ARROW, 1972 – DEBREU, 1983 – NASH, 1994
Xét hàm một biến g(x) liên tục, ánh xạ những điểm của I = [0 1] đến I. Như chỉ rõ trên biểu đồ 1, tất yếu tồn tại một điểm x* thuộc I sao cho x* = g(x*). Một điểm như thế được gọi là điểm bất động của ánh xạ liên tục (ta nhận xét là có thể tồn tại nhiều điểm bất động nếu như, trong biểu đồ 1, g giao với đường chéo hơn một lần). Ta nhận xét là nếu một trong hai giả thiết (g là liên tục và g ánh xạ những điểm của I đến I) không được thoả thì có thể điểm bất động không tồn tại. Những tình thế này được minh hoạ trên biểu đồ 2 cho một hàm liên tục ánh xạ những điểm của I đến một tập khác hơn I và trong hình 3 cho một hàm ánh xạ những điểm của I đến I, nhưng hàm g là không liên tục. Tuy nhiên, tình thế được biểu trưng trong biểu đồ 4 cho thấy là có thể tồn tại một điểm bất động nếu một trong những giả thiết (trong trường hợp này là giả thiết tính liên tục của g) không được thoả mãn.
▶ DEBREU G., Théorie de la valeur, Paris, Dunod, 1966. – EKELAND I., Éléments d’économie mathématique, Paris, Herman, 1979. – FRIEDMAN J. Game Theory with Applications to Economics, Oxford, Oxford University Press, 1986. – GUINSBURGH V. & KEYSER M., The Structure of Applied General Equilibrium Models, Cambridge (MA), MIT Press, 1997. – KEHOR T., “Computation and Multiplicity of Equilibria”, trong HILDENBRAND W & HILDENBRAND H., chủ biên, Handbook of Mathematical Economics, vol. 4, Amsterdam, North-Holland, 1991. – MASS-COLELL A., WHINSTON M. D. & GREEN J. R., Microeconomic Theory, Oxford, Oxford University Press, 1995. – ORTEGA J. M. & RHEINBOLDT W. C., Iterative Solutions of Non Linear Equations in Several Variables, New York, Academic Press, 1970 – SCARF H. & HANSEN T., The Computation of Economic Equilibria, New Haven, Yale University Press, 1973 – SMART D. R., Fixed Point Theorems, Cambridge, Cambridge University Press, 1974.
Victor GINSBURGH
Giáo sư đại học tự do Bruxelles (Bỉ)
Nguyễn Đôn Phước dịch
® Cân bằng Nash; Cân bằng chung; Kinh tế toán học; Lí thuyết trò chơi; Những hệ động trong toán học.
