26.2.23

David Hilbert: Nhận thức tự nhiên và logic học

NHẬN THỨC TỰ NHIÊN VÀ LOGIC HỌC

NATURERKENNEN UND LOGIK

David Hilbert

Diễn từ tại Königsberg, 1930

Nguyễn Xuân Xanh chuyển ngữ

“

Nếu bạn có thể nhìn vào hạt giống của thời gian,
Và nói hạt nào sẽ phát triển, và hạt nào sẽ không,
Thì hãy nói chuyện với tôi.
William Shakespeare, Macbeth

Nghệ thuật làm toán là ở chỗ tìm ra trường hợp đặc biệt chứa tất cả mầm mống của tính tổng quát.

– David Hilbert

Không có nhà toán học nào có tầm vóc tương đương đã vươn lên từ thế hệ của chúng tôi… Hilbert đặc biệt không có định kiến về quốc gia và chủng tộc; trong tất cả các vấn đề liên quan đến công chúng, dù là chính trị, xã hội hay tâm linh, ông ấy đã mãi mãi đứng về phía tự do.

— Hermann Weyl

Tôi long trọng hỏi ngài rằng liệu bằng lời thề đã định, ông có cam kết hứa và xác nhận một cách tận tâm nhất rằng ngài sẽ bảo vệ khoa học chân chính một cách can đảm, mở rộng và tô điểm nó, không phải vì lợi ích riêng tư hay để đạt được ánh hào quang hão huyền, mà để cho ánh sáng chân lý của Chúa tỏa sáng và lan rộng.

(Lời thề được khoa trưởng khoa Toán Đại học Königsberg chuẩn bị để David Hilbert xác nhận trước khi trao bằng Tiến sĩ Triết học cho ông.)

David Hilbert (sinh ngày 23 tháng 1, 1862, tại Königsberg, Đông Phổ – mất ngày 14 tháng 2, 1943, tại Göttingen, CHLB Đức)

Lời nói đầu. Năm 1930, tức gần một thế kỷ trước, tại Hiệp hội các nhà khoa học tự nhiên và bác sĩ Đức (Gesellschaft der Deutschen Naturforscher und Ärzte) diễn ra ở thành phố Königsberg của Đông Phổ, nay là Kaliningrad thuộc Nga, nhà toán học David Hilbert, được xem như một Euclid thứ hai của thế kỷ 20, đọc một báo cáo quan trọng có tên Nhận thức tự nhiên và Logic học^[1] (Naturerkennen und Logik). Năm đó, Hilbert cũng nghỉ hưu, và thành phố Königsberg bầu ông làm công dân danh dự. Ông trình bày về hệ luận của các khám phá lớn của khoa học diễn ra từ cuối thế kỷ 19 đến những thập niên đầu thế kỷ 20, có ảnh hưởng lớn lên triết học tự nhiên (natural philosophy) và nhận thức luận (epistemology) trong toán học và khoa học tự nhiên. Các tiến bộ này xuất phát mạnh mẽ và chủ yếu từ những khám phá trong lãnh vực vật lý và thiên văn học. Triết học tự nhiên là môn học ngự trị lâu đời ở phương Tây. Trong tác phẩm Principia của Newton thế kỷ 17, nó chịu một khúc quanh đầu tiên lớn nhất trong lịch sử rất tích cực, gắn liền với cuộc cách mạng khoa học và có ảnh hưởng lớn lên phong trào khai sáng ở châu Âu. Và 250 năm sau, một khúc quanh khác có lẽ còn triệt để hơn đã diễn ra cũng tại châu Âu. Hilbert muốn nói về khúc quanh đó mà ông là một nhân chứng như một bài học nhận thức luận cho công chúng. Bài này không thể thiếu cho văn hóa khoa học.

Đoạn cuối của bài diễn từ (đoạn [6]) được Hilbert làm gọn lại, và được ông đọc trên radio trong bốn phút. Đó là diễn từ rất ấn tượng và nổi tiếng. Có thể nghe giọng nói của ông ở đây: https://rosetta.vn/nguyenxuanxanh/david-hilbert/.

Sự phân đoạn [1], [2], … là do người dịch thực hiện cho dễ đọc hơn về mặt tâm lý. Trong đoạn [2] tôi cũng đã lược bớt một thí dụ của ông. Tôi tin không làm ảnh hưởng đến toàn bộ ý tưởng của Hilbert, vốn rất phong phú.

Tôi rất mong nhận được các lời bình của các độc giả xa gần về nội dung bài viết của Hilbert.

MỘT CHÚT TIỂU SỬ

Felix Klein (1849-1925)

Hilbert là “một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại” như Heisenberg nhận xét. Ông sinh ra tại Königsberg, cũng là quê hương của các nhà triết học Kant và Hamann, học toán tại đại học của thành phố với Ferdinand Lindemann, bảo vệ luận văn tiến sĩ năm 1885, giảng dạy với tư cách privatdozent tại đó từ 1889-92, và từ 1893 là giáo sư thực thụ. Năm 1895, thông qua sự ủng hộ của Felix Klein, ông nhận lời mời làm giáo sư tại Đại học Göttingen, và ông từ chối những lời mời của những nơi khác để ở lại Göttingen đến cuối đời. Và Hilbert đã tạo sức hút mãnh liệt, làm cho trường phái toán của Felix Klein cuối cùng thăng hoa. Sinh viên khắp thế giới đến nghe các bài giảng truyền cảm hứng và giàu ý tưởng của ông. Những lãnh vực chính của ông là: Thuyết biến phân (theory of variations), Thuyết bất biến (Invariants), Thuyết số (Zahlentheorie, 1893-99), Tiên đề hóa hình học (Axiomatik der Geometrie hay Grundlagen der Geometrie, 1899), Thuyết các phương trình tích phân (Integralgleichungen 1901-12). Năm 1897 Hilbert cho ra đời tác phẩm nổi tiếng Zahlbericht (“Báo cáo về số”), nhằm thống nhất ngành số học đại số (algebraic number theory). Năm 1915-16 quyển sách Grundlagen der Physik (Cơ sở của Vật lý) ra đời, sau đó Grundlagen der Mathematik (Cơ sở của Toán học, 1923) và Phương pháp của Vật lý toán (Methoden der mathematischen Physik, 1924, chung với Richard Courant, học trò ông). Bài phát biểu Naturerkennen und Logik mà chúng ta sẽ trình bày dưới đây phản ảnh lập trường triết học của ông.

Năm 1900, Hilbert, lúc đó ở tuổi 38, đã tạo tiếng vang lớn khi được cử đọc bài diễn văn khai mạc cho Hội nghị Quốc tế các Nhà toán học (ICM) lần thứ hai ở Paris Sorbonne và đưa ra danh sách 23 bài toán (chưa giải) của toán học, dưới cái tên “Các bài toán của toán học” (Mathematische Probleme), do chính ông khảo sát và đề xuất, nhằm định hướng phát triển cho toán học trong những thập niên sau đó. Hilbert mở đầu bài thuyết trình của mình bằng tuyên bố:

Ai trong chúng ta lại không sung sướng khi vén lên bức màn che khuất tương lai; để chiêm ngưỡng sự phát triển sắp tới của khoa học của chúng ta và những bí mật của sự phát triển của nó trong những thế kỷ tới? Điều gì sẽ là mục đích cuối cùng mà tinh thần của các thế hệ nhà toán học tương lai sẽ hướng tới? Thế kỷ mới sẽ tiết lộ những phương pháp nào, những sự kiện mới nào trong lĩnh vực rộng lớn và phong phú của tư duy toán học?

và ông tiếp tục:

Lịch sử dạy chúng ta về tính liên tục của sự phát triển của khoa học. Chúng ta biết rằng mọi thời đại đều có những vấn đề riêng của nó, mà thời đại sắp tới sẽ giải quyết hoặc gạt sang một bên như là vô ích và thay thế chúng bằng những vấn đề mới. Nếu chúng ta muốn có được ý tưởng về sự phát triển có thể xảy ra của tri thức toán học trong tương lai gần, chúng ta phải để những câu hỏi mở lướt qua tâm trí mình và khảo sát những vấn đề mà khoa học hiện tại đặt ra và chúng ta mong đợi giải pháp của chúng trong tương lai. Ngày nay, vào thời điểm chuyển giao thế kỷ, đối với tôi dường như rất thích hợp cho việc xem xét các vấn đề như vậy; vì những khoảng thời gian tuyệt vời không chỉ mời chúng ta nhìn lại quá khứ mà còn hướng suy nghĩ của chúng ta đến những điều chưa biết sẽ xảy ra.

Sau khi trình bày các bài toán, Hilbert kết thúc bài thuyết trình của ông khi nói rằng người ta sợ toán học bị chia ra thành nhiều ngành độc lập. “Tôi không tin và không muốn điều đó.” Ông tiếp:

Tính chất thống nhất của toán học nằm ở bản chất bên trong của khoa học này; bởi vì toán học là cơ sở của mọi nhận thức khoa học chính xác. Để nó hoàn thành sứ mệnh cao cả này, mong những bậc thầy thiên tài và vô số đệ tử của họ bừng bừng nhiệt huyết cao cả sẽ xuất hiện trong thế kỷ mới!

Hilbert nhắm đến những phương pháp để “khám phá những mối liên hệ không ai ngờ tới giữa các ngành tri thức đến nay còn đứng riêng rẻ” như lời ông nói. Một trong những bài toán hiện nay vẫn chưa giải được là Giả thuyết Riemann.

Trang đầu tiên bài khảo sát các bài toán của Hilbert đăng trên Tin tức của Hiệp hội Khoa học ở Göttingen, lớp toán-vật lý.

Một thời gian ngắn sau khi Hilbert mất, Élie Cartan (1869–1951), nhà toán học Pháp chuyên gia về nhóm Lie, trong một bức thư gửi Constantin Caratheodory (1873–1950), nhấn mạnh tầm quan trọng của bài phát biểu 1900 như sau: “Chúng ta sẽ không bao giờ nghe thấy một cuộc nói chuyện như vậy tại các đại hội nữa.”

Constantin Caratheodory (1873-1950)

Élie Cartan (1869-1951)

Sự quan tâm sâu sắc của Hilbert với vật lý toán cũng góp phần tạo nên danh tiếng của trường đại học Göttingen về vật lý. Ba người đoạt giải Nobel Vật lý — Max von Laue năm 1914, James Franck năm 1925 và Werner Heisenberg năm 1932 — dành phần quan trọng trong sự nghiệp của họ tại Göttingen trong thời gian Hilbert sống ở đó. Nhà toán học Hermann Minkowski (thầy của Einstein tại ETH Zurich) cũng từng hoạt động ở đây, thúc đẩy ứng dụng mới của toán học vào vật lý cho đến khi ông qua đời vào năm 1909, một năm sau khi ông đã hình học hóa thuyết tương đối hẹp của Einstein thành không-thời gian bốn chiều, tạo một bước tiến to lớn trong việc xác định khung hình học cho thuyết tương đối rộng sau đó. Hilbert tiếp tục thực hiện các bài giảng và seminar về các đề tài vật lý cho đến 1930.

Mặc dù ông rất thích thú được mở rộng chân trời tri thức, ra sức thử với thuyết tương đối rộng và cả thuyết trường thống nhất, những đề tài khó của Einstein, nhưng cuối cùng thu hoạch của ông không thể so sánh với thành quả của ông trong lãnh vực toán học. Để sáng tạo, nhà khoa học, vật lý hay toán học, hay bất cứ ngành học nào, cần có trực giác tốt. Poincaré diễn tả điều này rất súc tích: “Nhờ logic chúng ta chứng minh, trong khi nhờ trực giác chúng ta khám phá.” (trong Mathematical definitions in education, 1904), và “Do đó, logic vẫn là miếng đất cằn cỗi trừ khi được trực giác làm cho nó màu mỡ.” (1908) Nhưng không phải Hilbert thiếu trực giác, mà sự thật là thực tế có nhiều loại trực giác, và trực giác toán có thể không đồng nhất với trực giác vật lý. Trong cuộc “chạy đua” giữa Hilbert và Einstein trong việc thiết lập phương trình trường hấp dẫn năm 1915, Hilbert tỏ ra rất mạnh mẽ và nhanh chóng về mặt toán học, giống như tay đua cừ khôi của Formula 1. Nhưng cuối cùng không phải ông mà Einstein đã thiết lập được phương trình trường mong muốn. Lý do đơn giản: Hilbert thiếu trực giác vật lý cái mà Einstein có. Xem bài Vài ngộ nhận về Albert Einstein phần I. Hilbert diễn tả sự kiện này bằng câu nói dí dỏm: “Mỗi cậu học sinh trên đường phố Göttingen của chúng ta hiểu về hình học bốn chiều còn nhiều hơn Einstein. Mặc dù thế Einstein là người đã làm nên công trình chứ không phải những nhà toán học.”

Werner Heisenberg (1901-1976)

Murray Gell-Mann (1929-2019)

Theo nhận xét của Murray Gell-Mann, cha đẻ của hạt quark cơ bản, cách làm của những nhà vật lý là, trước nhất họ không cần phải học quá nhiều toán học; chỉ khi nào gặp khó khăn trong việc giải bài toán vật lý của mình, họ mới đi tìm công cụ toán học thích hợp cho nó. Chẳng hạn như Heisenberg với ma trận, hay Einstein với không gian Riemann, hay Gell-Mann với các nhóm Lie. Đối với Hilbert, những người như Einstein, Bohr, “mò mẫm” con đường của họ trong “bóng tối” để đi đến các concepts về tương đối hay cấu trúc nguyên tử, bằng những loại thí nghiệm ý tưởng và tưởng tượng khác hơn cách của nhà toán học. Có lẽ Hilbert thiếu những trải nghiệm của nhà vật lý. (Xem thêm chú thích [4] dưới đây)

Năm 1910, khi giải thưởng Bolyai thứ hai, sau Poincaré (1905), của Hàn lâm viện khoa học Hungary được trao cho Hilbert, Poincaré là người đã viết bài khen ngợi nồng nhiệt. (Poincaré sau này trong một dịp khác cũng viết một bài giới thiệu nồng nhiệt cho Einstein vào mục đích khác.)

Khả năng toán học của ông đã được Otto Blumenthal, học trò đầu tiên của ông tóm tắt như thế này:

Khi phân tích tài năng toán học, người ta phải phân biệt giữa khả năng tạo ra các khái niệm mới nhằm sinh ra các loại cấu trúc tư duy mới và năng khiếu cảm nhận các mối liên hệ sâu sắc hơn và sự thống nhất ở nền tảng. Trong trường hợp của Hilbert, sự vĩ đại của ông ấy nằm ở một cái nhìn thấu suốt vô cùng mạnh mẽ, xuyên thấu vào chiều sâu của một vấn đề. Tất cả các tác phẩm của ông đều chứa đựng những ví dụ từ các lĩnh vực xa xôi mà chỉ ông mới có thể nhận ra tính liên kết nhau và mối liên hệ với vấn đề đang nghiên cứu. Từ những điều này, sự tổng hợp, tác phẩm nghệ thuật của ông ấy, cuối cùng đã được tạo ra. Trong chừng mực liên quan đến việc tạo ra những ý tưởng mới, tôi sẽ đặt Minkowski cao hơn, và tạo ra những ý tưởng vĩ đại kinh điển, Gauss, Galois và Riemann. Nhưng khi nói đến cái nhìn xuyên suốt, chỉ một vài trong số những người vĩ đại nhất là ngang hàng với Hilbert.

Felix Klein trong một bài diễn văn năm 1893 tại Chicago đã chia các nhà toán học ra làm ba nhóm: Các nhà logic học (Logiker), các nhà hình thức học (Formalisten) và các nhà trực quan học (Intuitiven). Weierstrass có thể được xếp vào nhóm nhà logic học, Cayley nhà hình thức học, và Brouwer nhà trực quan học. Đối với Hilbert, người ta nói ông là người đứng tại giao lộ của ba nhóm.

Hilbert không những là một học giả lớn, mà còn là một người thầy lớn mà các sinh viên và trợ lý của ông là những nhân chứng. Ông đã chia sẻ với họ “nghệ thuật thủ công” của khám phá toán học, và để họ tham gia vào tác phẩm của ông. Tác phẩm nổi tiếng Anschauliche Geometrie (Hình học trực quan, tên bản tiếng Anh: Geometry and the Imagination) của ông chung với nhà toán học trẻ S. Cohn-Vossen là một trong những kết quả của các hoạt động giảng dạy của ông. Trong 69 học trò của ông, có nhiều người rất nổi tiếng, như Otto Blumenthal, Felix Bernstein, Hermann Weyl, Richard Courant, Erich Hecke, Hugo Steinhaus, và Wilhelm Ackermann.

Cuối đời, Hilbert đã phải đau khổ khi chứng kiến Nazi phá hủy mecca toán học của Göttingen mà ông đã góp sức xây dựng thế nào. Sau khi loại bỏ hết các nhà toán học có dòng máu Jewish, hay có mối liên hệ gia đình với Jew, vị Bộ trưởng giáo dục của Nazi (Bernhard Rust) đến hỏi Hilbert, “Sao, toán học ở Göttingen bây giờ như thế nào sau khi nó được giải phóng khỏi ảnh hưởng của Do Thái?”. Hilbert thẳng thắn trả lời: “Toán học ở Göttingen ư? Bây giờ còn đâu nữa?” Không phải chỉ có toán học, mà cả nền khoa học của Đức cũng bị đánh sập, cùng lúc diễn ra một exodus của các nhà khoa học từ Đức và các quốc gia châu Âu bị Nazi đe dọa sang Hoa Kỳ.

Kurt Godel (1906-1978)

Hilbert mất năm 1943 ở tuổi 81 tại Göttingen. Ông may mắn không nhìn thấy thành phố quê hương thân yêu của ông Königsberg sẽ không còn thuộc Đức nữa. Cuộc khủng hoảng chính trị cuối đời ông trùng hợp với cuộc “khủng hoảng” toán học, ngược với niềm tin của ông, khi nhà logic học người Áo Kurt Gödel chứng minh định lý bất toàn, nghĩa là có một mệnh đề toán học mà người ta sẽ không quyết định được nó đúng hay sai. Đó là một cuộc “tấn công” vào các nền tảng logic của toán học. Dù vậy, ông đã đóng góp phần lớn nhất của sức lực ông vào toán học xây dựng, những gì có thể chứng minh được. Hilbert là con người đầy lạc quan, bắt nguồn từ một năng lượng sung mãn của ông. Nhưng nó cũng phản ảnh sự lạc quan mạnh mẽ của thời đại lúc bấy giờ, zeitgeist, tin vào năng lực khám phá và sáng tạo không biên giới của con người. Ông kết thúc bài diễn từ năm 1930 bằng sáu chữ (Đức) nổi tiếng thể hiện nhiệt huyết của ông đối với toán học và lòng tin vào năng lực của con người: Wir müssen wissen/ Wir werden wissen (Chúng ta phải biết/ Chúng ta sẽ biết), những lời sau đó được khắc lên bia mộ ông thể hiện tâm thế của ông.

Nguyễn Xuân Xanh, 6/2/2023

* * *

DIỄN TỪ CỦA DAVID HILBERT

Naturerkennen und Logik

[1]

Sự nhận thức về tự nhiên và cuộc sống là nhiệm vụ quan trọng nhất của chúng ta. Mọi nỗ lực và ý chí của con người đều kết thúc ở đó, và chúng ta đã được ban tặng cho thành công ngày càng nhiều hơn. Trong vài thập kỷ qua, chúng ta đã có được nhận thức phong phú và sâu sắc hơn về tự nhiên so với nhiều thế kỷ trước. Hôm nay chúng ta muốn sử dụng tình huống thuận lợi này để xử lý một vấn đề triết học cũ phù hợp với chủ đề của chúng ta, đó là câu hỏi còn nhiều tranh cãi về phần đóng góp mà tư duy một mặt và kinh nghiệm mặt khác dự phần vào nhận thức của chúng ta. Câu hỏi cũ này là chính đáng, bởi vì trả lời nó về cơ bản có nghĩa là xác định loại nhận thức khoa học tự nhiên mà chúng ta có nói chung là loại nào, và theo nghĩa nào tất cả kiến thức mà chúng ta thu thập trong khoa học tự nhiên là chân lý.

Không tự phụ đối với các nhà triết học và nhà nghiên cứu cổ đại, ngày nay chúng ta có thể tin vào một câu trả lời đúng đắn cho câu hỏi này một cách chắc chắn hơn là họ đã làm, vì hai lý do: thứ nhất là tốc độ phát triển nhanh chóng đã được đề cập ở trên mà các ngành khoa học của chúng ta ngày nay đang phát triển.

Niels Bohr (1885-1962)

Những khám phá quan trọng của những thời kỳ trước đó, từ Copernicus, Kepler, Galileo, Newton đến Maxwell, trải dài trong gần bốn thế kỷ. Kỷ nguyên hiện đại sau đó bắt đầu với việc phát hiện ra sóng Hertz. Và sau đó nhanh chóng: Röntgen phát hiện ra các tia quang tuyến, Curie hiện tượng phóng xạ, Planck thiết lập thuyết lượng tử. Và trong thời gian gần đây nhất, các khám phá về những hiện tượng mới và những mối liên hệ đáng ngạc nhiên đang ồ ạt kéo đến khiến rất nhiều khuôn mặt tỏ ra bất an: Thuyết phóng xạ của Rutherford, định luật hv của Einstein, cách giải thích của Bohr về quang phổ, cách đánh số nguyên tố của Moseley, thuyết tương đối của Einstein, sự phân hủy nitơ của Rutherford, cấu trúc các nguyên tố của Bohr, lý thuyết đồng vị của Aston.

Vì vậy, chỉ riêng trong lĩnh vực vật lý, chúng ta đã có một loạt khám phá không ngừng nghỉ, và các khám phá này quan trọng làm sao! Không khám phá nào trong số đó thua kém những thành tựu của thời trước về sự vĩ đại, hơn nữa chúng bị nén lại gần nhau hơn về thời gian, nhưng về nội dung cũng đa dạng như thời trước. Và trong đó, lý thuyết và thực hành, tư duy và kinh nghiệm không ngừng thể hiện sự gắn bó mật thiết với nhau. Khi thì lý thuyết đi trước, khi thì thực nghiệm, luôn luôn xác nhận, bổ sung và kích thích cho nhau. Điều tương tự cũng áp dụng cho hóa học, thiên văn học và các ngành sinh học.

Vì vậy, đối với các triết gia xưa hơn trước đây, chúng ta có lợi thế là đang chứng kiến một số lượng lớn những khám phá như vậy và quen biết được những quan điểm mới được tạo ra trong quá trình hình thành của chúng. Trong số những khám phá mới, có nhiều cái đã làm thay đổi những quan điểm và tư tưởng cũ đã bám rễ sâu, hoặc loại bỏ chúng hoàn toàn. Ví dụ, chỉ cần nghĩ về khái niệm mới về thời gian trong thuyết tương đối, hoặc về sự phân hủy của các nguyên tố hóa học, và cách mà qua đó những định kiến đã bị loại bỏ, những thứ mà trước đây không ai dám nghĩ sẽ thay đổi.

[2]

Nhưng vẫn còn một tình huống thứ hai ngày nay giúp chúng ta giải quyết vấn đề triết học cũ xưa đó. Không chỉ kỹ thuật thí nghiệm và nghệ thuật để xây dựng các tòa nhà vật lý-lý thuyết đã đạt đến một trình độ chưa từng đạt tới, mà đối tác của nó, cụ thể là khoa học logic, cũng đã đạt được những tiến bộ đáng kể. Ngày nay, có một phương pháp chung để giải quyết lý thuyết các câu hỏi khoa học tự nhiên; nó giúp dễ dàng xác định vấn đề hơn trong mọi trường hợp, và giúp chuẩn bị đưa ra giải pháp cho bài toán, cụ thể đó là phương pháp tiên đề (axiomatic method).

Ý nghĩa của phương pháp tiên đề (Axiomatik) được nhắc đến nhiều ngày nay là gì? Hãy xem, ý tưởng cơ bản dựa trên thực tế là, ngay cả trong nhiều lĩnh vực tri thức sâu rộng, một vài mệnh đề – được gọi là tiên đề – thường là đủ để xây dựng toàn bộ tòa nhà của lý thuyết một cách thuần túy logic. Nhưng nhận xét này chưa nói hết tầm quan trọng của nó. Các ví dụ có thể giải thích tốt nhất phương pháp tiên đề cho chúng ta. Ví dụ lâu đời nhất và nổi tiếng nhất của phương pháp tiên đề là hình học Euclid. Tuy nhiên, tôi muốn minh họa ngắn gọn phương pháp tiên đề bằng một ví dụ rất rõ ràng từ sinh học hiện đại. […]^[2]

Một ví dụ khác về phương pháp tiên đề trong một lĩnh vực hoàn toàn khác là như sau:

Trong các ngành khoa học lý thuyết của chúng ta, chúng ta đã quen với việc áp dụng các quá trình tư duy hình thức và các phương pháp trừu tượng. Phương pháp tiên đề thuộc về logic học. Khi nghe đến từ logic, người ta nghĩ đến một điều rất nhàm chán và khó khăn. Ngày nay, khoa học logic đã trở nên dễ hiểu và rất thú vị. Chẳng hạn, người ta đã nhận ra rằng các phương pháp và khái niệm được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày đòi hỏi mức độ trừu tượng cao và chỉ có thể hiểu được thông qua ứng dụng không ý thức của các phương pháp tiên đề. Chẳng hạn, quá trình tổng quát của phủ định (Negation) và đặc biệt khái niệm “vô cực” (Unendlich). Liên quan đến thuật ngữ “vô cực”, chúng ta phải thấy rõ rằng “vô cực” không có ý nghĩa trực quan và, nếu không có những nghiên cứu thêm, nó sẽ không có ý nghĩa gì cả. Bởi vì ở khắp mọi nơi chỉ có những thứ hữu hạn. Không có tốc độ vô hạn và không có lực hoặc hiệu ứng lan truyền nhanh vô hạn. Ngoài ra, tác động (Wirkung) có bản chất rời rạc và chỉ tồn tại ở dạng lượng tử. Không có gì liên tục cả để có thể được chia ra vô tận. Ngay cả ánh sáng cũng có cấu trúc nguyên tử, cũng như độ lớn của tác động. Tôi chắc chắn rằng ngay cả không gian cũng có phạm vi hữu hạn, và một ngày nào đó các nhà thiên văn học sẽ có thể kể cho chúng ta biết không gian dài, cao và rộng bao nhiêu km. Ngay cả khi trong thực tế thường có những trường hợp số lượng rất lớn, v.d. khoảng cách của các ngôi sao tính bằng km, hoặc số lượng các ván cờ có thể khác nhau về cơ bản, thì tính bất tận và vô tận, những khái niệm phủ định các tình huống phổ biến ở khắp mọi nơi, là một sự trừu tượng hóa khủng khiếp – chỉ có thể thực hiện được thông qua ứng dụng có ý thức hoặc vô thức của phương pháp tiên đề. Quan niệm về cái vô hạn này, cái mà tôi đã thiết lập thông qua các nghiên cứu cặn kẽ, giải quyết một loạt câu hỏi cơ bản, đặc biệt qua đó, những nghịch lý của Kant về không gian và về khả năng phân chia vô hạn đã trở nên không còn hiệu lực, và những khó khăn nảy sinh theo đó cũng đã được giải quyết.

“

NGHỊCH LÝ HILBERT CỦA KHÁCH SẠN LỚN

Nói về vô cực. Hãy xem một khách sạn lớn, vâng, có vô cực nhưng đếm được số phòng. Giả thiết nó đang đầy khách. Chợt có một vị khách mới đến xin thuê phòng. Người chủ nói: Không có vấn đề. Ông ta cho người đang ở phòng 1 chuyển sang phòng 2, người ở phòng 2 chuyển sang phòng 3, … nghĩa là người ở phòng số n chuyển dùm qua phòng số n+1. Vậy thì tất cả khách đều có phòng, không ai bị bỏ rơi cả. Sau đó có một người khác nữa đến thuê phòng. Ông chủ nói: cũng không có vấn đề chi. Ông cho dời phòng y chang như trước, và mọi việc được giải quyết. Cứ thế, khách sạn tuy đầy nhưng có thể nhận thêm một số hữu hạn N khách mới mà vẫn chứa được.

Hilbert năm 1886 và Hilbert năm 1907

[3]

Nếu bây giờ chuyển sang chính vấn đề của chúng ta, tự nhiên và tư duy có liên hệ với nhau như thế nào, thì chúng ta hãy đưa ra ba điểm chính ở đây. Mối quan hệ đầu tiên liên quan đến vấn đề về vô cực vừa được thảo luận. Chúng ta đã thấy: cái vô hạn không được thực hiện ở bất cứ nơi nào; nó không có trong tự nhiên và cũng không được phép làm cơ sở trong suy nghĩ của chúng ta mà không có sự đề phòng đặc biệt. Ở đây, tôi đã nhìn thấy một sự song song quan trọng giữa tự nhiên và tư duy, một sự thống nhất cơ bản giữa kinh nghiệm và lý thuyết.

Chúng ta nhận thấy một sự song song khác (thứ hai): suy nghĩ của chúng ta hướng đến sự thống nhất và tìm cách xây dựng sự thống nhất; chúng ta quan sát sự thống nhất của vật liệu (stuff) trong vật chất, và chúng ta nhận thấy sự thống nhất của các quy luật tự nhiên ở mọi nơi. Thực tế, tự nhiên rất hỗ trợ nghiên cứu của chúng ta, như thể nó sẵn sàng tiết lộ bí mật của mình. Sự phân bố thưa thớt của khối lượng trong không gian thiên thể cho phép khám phá và xác nhận chính xác hơn định luật Newton. Bất chấp tốc độ ánh sáng cao, Michelson đã có thể xác định một cách chắc chắn rằng định luật cộng của vận tốc là không đúng, bởi vì trái đất của chúng ta vẫn quay quanh mặt trời đủ nhanh để làm điều này. Sao Thủy đang làm vui lòng chúng ta bằng cách thực hiện chuyển động điểm cận nhật để chúng ta qua đó có thể kiểm tra lý thuyết của Einstein. Và tia sáng của ngôi sao cố định đi qua mặt trời sao cho sự lệch của nó được quan sát thấy.

Nhưng đập vào mắt hơn nữa là một hiện tượng (thứ ba), mà chúng tôi theo một nghĩa khác với Leibniz, gọi là sự hài hòa tiền định (pre-established harmony), thực tế là một sự hiện thân và hiện thực hóa các ý tưởng toán học. Các ví dụ cũ hơn về điều này là các tiết diện hình nón, đã được nghiên cứu từ rất lâu trước khi người ta ngờ rằng các hành tinh của chúng ta hoặc thậm chí các electron chuyển động trên những quỹ đạo như vậy. Nhưng ví dụ vĩ đại nhất và tuyệt vời nhất về sự hài hòa tiền định là thuyết tương đối nổi tiếng của Einstein. Ở đây, chỉ bằng yêu cầu tổng quát về tính bất biến kết hợp với nguyên lý về tính đơn giản lớn nhất mà các phương trình vi phân cho thế năng hấp dẫn được thiết lập rõ ràng về mặt toán học; và sự thiết lập này sẽ bất khả thi nếu không có những nghiên cứu toán học sâu xa và khó khăn của Riemann đã tồn tại từ rất lâu trước đó. Trong thời gian gần đây, ngày càng có nhiều trường hợp trong đó các lý thuyết toán học nằm tại tâm điểm của mối quan tâm trong toán học đồng thời lại là những lý thuyết được cần đến trong vật lý. Tôi đã phát triển lý thuyết về vô số biến số vì lợi ích toán học thuần túy, thậm chí áp dụng thuật ngữ phân tích quang phổ, mà không ngờ rằng những điều này sau này sẽ được nhận ra trong quang phổ thực của vật lý.

Chúng ta chỉ có thể hiểu được sự thống nhất này giữa tự nhiên và tư duy, giữa thực nghiệm và lý thuyết, nếu chúng ta xem xét yếu tố hình thức và cơ chế liên quan trên cả hai mặt của tự nhiên và giác tính (Verstand, understanding) của chúng ta. Quá trình toán học của sự loại bỏ dường như cung cấp các điểm dừng và trạm nghỉ nơi các vật thể trong thế giới thực cũng như những ý tưởng trong thế giới tinh thần trú ngụ, và do đó chúng cho phép chúng ta xem xét và so sánh.

Tuy nhiên, ngay cả sự hài hòa tiền định này vẫn chưa nói hết các mối quan hệ giữa tự nhiên và tư duy, và chưa làm những bí ẩn sâu sắc nhất về vấn đề của chúng ta lộ rõ. Để hiểu được điều này, chúng ta hãy xem xét toàn bộ phức hợp tri thức vật lý-thiên văn. Lúc đó, chúng ta nhận thấy trong khoa học ngày nay một quan điểm vượt xa các cách đặt vấn đề và mục tiêu cũ trước đây của khoa học của chúng ta: đó là thực tế, rằng khoa học ngày nay, không chỉ theo nghĩa cơ học cổ điển từ dữ liệu của hiện tại, dạy cho chúng ta xác định trước các chuyển động trong tương lai và các hiện tượng được mong đợi, nhưng nó cũng còn chỉ ra rằng các trạng thái thực tế hiện tại của vật chất trên trái đất và trong vũ trụ không phải là ngẫu nhiên hay tùy tiện, mà tuân thủ các quy luật vật lý.

Những bằng chứng quan trọng nhất cho điều này là các mô hình nguyên tử của Bohr, cấu trúc của thế giới các vì sao, và cuối cùng là toàn bộ lịch sử phát triển của sự sống hữu cơ. Việc theo đuổi các phương pháp này dường như thực sự phải dẫn đến một hệ thống các quy luật tự nhiên phù hợp với thực tế trong tổng thể của chúng, và sau đó tất cả những gì thực sự cần là tư duy, nghĩa là suy luận có tính khái niệm để đạt được tất cả các tri thức vật lý; lúc đó Hegel đáng lẽ sẽ đúng khi khẳng định rằng tất cả các sự kiện tự nhiên đều có thể được suy ra từ các khái niệm. Nhưng kết luận này là không chính xác. Bởi vì nguồn gốc của các định luật thế giới thì thế nào? Chúng ta suy chúng từ đâu? Và ai dạy cho chúng ta, rằng chúng phù hợp với thực tại? Câu trả lời là chỉ có kinh nghiệm mới giúp chúng ta có được những thứ đó. Ngược với Hegel, chúng ta nhận thức rằng các quy luật của thế giới không thể đạt được bằng cách nào khác ngoài từ kinh nghiệm. Có thể nhiều quan điểm suy đoán đa dạng cùng tác động đến việc xây dựng khung khái niệm vật lý: Liệu các định luật đã được thiết lập và khung logic của các khái niệm được xây dựng từ chúng có đúng hay không, điều đó chỉ có kinh nghiệm mới có thể quyết định. Đôi khi một ý tưởng có nguồn gốc ban đầu từ tư duy thuần túy, chẳng hạn như ý tưởng về thuyết nguyên tử của Democrit, trong khi sự tồn tại của nguyên tử chỉ được chứng minh bởi vật lý thực nghiệm hai thiên niên kỷ sau. Đôi khi kinh nghiệm đi trước và áp đặt quan điểm suy đoán lên tinh thần. Vì vậy, chúng ta cảm ơn sự thúc đẩy mạnh mẽ của thí nghiệm của Michelson mà vì thế định kiến bám rễ vững chắc về thời gian tuyệt đối có thể bị xóa sạch và cuối cùng ý tưởng về thuyết tương đối rộng có thể được Einstein tìm ra.^[3]

Isaac Newton, Immanual Kant và Albert Einstein

Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann và Hermann von Helmholtz

“

Mối liên hệ mật thiết đáng ngạc nhiên giữa vật lý và toán học

Eugene Wigner, nhà vật lý giải Nobel năm 1963, đã bày tỏ sự kinh ngạc về mối liên hệ này trong Bài giảng Richard Courant tại Đại học New York ngày 11, tháng 5, 1959, cho rằng mối liên hệ mật thiết này là unreasonable, không hợp lý, rằng “tính hữu ích to lớn của toán học trong khoa học tự nhiên là một cái gì đó mang tính bí ẩn và không có lời giải thích hợp lý cho nó”. Wigner viết:

Phép lạ về sự phù hợp (appropriateness) của ngôn ngữ toán học để xây dựng các định luật vật lý là một món quà tuyệt vời mà chúng ta không hiểu và cũng không xứng đáng. Chúng ta nên biết ơn điều đó và hy vọng rằng nó sẽ vẫn có hiệu lực trong nghiên cứu tương lai và rằng nó sẽ mở rộng, dù tốt hay xấu, với niềm vui, mặc dù cũng có thể với sự kinh ngạc cho chúng ta, đến những ngành học rộng lớn khác.

Eugene Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences

Tuy nhiên cũng cần bổ sung thêm nhận định của Einstein. Trong bài báo cáo trước Hàn Lâm viện Phổ có tên Hình học và Kinh nghiệm (Geometrie und Erfahrung, 1921), ông nói, như một sự đúc kết từ những nghiên cứu có tính cách mạng của ông trong thuyết tương đối: Bao lâu các định lý toán học nói về thực tại, thì chúng không chắc chắn, và bao lâu chúng chắc chắn, thì chúng không nói về thực tại. Đó là câu trả lời ngắn gọn của Einstein cho điều bất ổn sau đây: “Làm sao toán học, vốn là một sản phẩm của tư duy con người và độc lập với mọi kinh nghiệm, lại có thể phù hợp với các đối tượng của thực tại một cách tuyệt hảo như thế. Có thật lý trí con người có thể lý giải hết các tính chất của sự vật hiện thực chỉ bằng tư duy thuần túy thôi mà không cần đến kinh nghiệm hay sao?” (Xem bài Hình học và Kinh nghiệm trong sách Thuyết tương đối hẹp và rộng của Einstein, tr. 189 trở đi). Tính chất tiên nghiệm, a priory, của một số quan điểm triết học, đã trở nên hậu nghiệm, a posteriori, mới thích hợp với thực tại, như không gian chúng ta sống không phải là Euclid mà phi-Euclid, và thời gian cũng không phải là tuyệt đối, mà tương đối.

[4]

Tuy nhiên, ai muốn phủ nhận rằng các quy luật của thế giới xuất phát từ kinh nghiệm đều phải khẳng định rằng có một nguồn tri thức thứ ba bên cạnh suy luận và kinh nghiệm.^[4]

Trên thực tế, các triết gia – và Kant là đại diện kinh điển của quan điểm này – đã khẳng định rằng, ngoài logic và kinh nghiệm, chúng ta vẫn có một loại tri thức tiên nghiệm (a priori)^[5] nào đó về thực tại. Thật sự, tôi thừa nhận, một số nhận thức tiên nghiệm nhất định là cần thiết cho việc xây dựng các khung lý thuyết và rằng sự phát triển tri thức của chúng ta luôn dựa trên những hiểu biết như vậy. Tôi tin rằng kiến thức toán học cuối cùng cũng dựa trên một loại nhận thức trực quan như thế. Và rằng, thậm chí để xây dựng lý thuyết số chúng ta a priori cũng cần một quan niệm trực quan nhất định. Do đó, ý tưởng cơ bản chung nhất của nhận thức luận của Kant vẫn giữ được tầm quan trọng của nó: cụ thể, vấn đề triết học là làm sao xác định được nhận thức trực quan đó một cách tiên nghiệm, và qua đó nghiên cứu điều kiện về khả năng của mỗi nhận thức có tính khái niệm và đồng thời của mỗi kinh nghiệm. Tôi tin rằng điều này về cơ bản đã xảy ra trong các nghiên cứu của tôi về các nguyên lý toán học. Tính tiên nghiệm (a priori) không gì nhiều hơn hay ít hơn là một thái độ căn bản hoặc sự diễn đạt một số điều kiện tiên quyết không thể thiếu cho tư duy và kinh nghiệm. Nhưng ranh giới giữa một bên là những gì chúng ta sở hữu một cách tiên nghiệm và một bên là những gì cần thiết cho kinh nghiệm phải được vạch ra là khác với Kant; Kant đã đánh giá vai trò và phạm vi của tiên nghiệm quá cao.

Vào thời của Kant, người ta có thể nghĩ rằng các khái niệm về không gian và thời gian mà người ta đã sở hữu cũng có thể áp dụng phổ biến và trực tiếp vào thực tại, chẳng hạn những ý tưởng của chúng ta về số lượng, thứ tự và kích thước, mà chúng ta thường xuyên sử dụng trong các lý thuyết toán học và vật lý theo cách quen thuộc đối với chúng ta. Vậy thì, lý thuyết về không gian và thời gian, đặc biệt là hình học, thực sự sẽ là một cái gì đó như số học, đi trước mọi nhận thức về tự nhiên. Nhưng quan điểm này của Kant đã bị bác bỏ trước khi sự phát triển của vật lý bắt buộc nó, đặc biệt bởi Riemann và Helmholtz – một cách chính đáng; bởi vì hình học không gì khác hơn là một phần của toàn bộ khung khái niệm vật lý mô tả các mối quan hệ vị trí có thể có của các vật rắn với nhau trong thế giới của các vật thể thực. Rằng có những vật rắn có thể di chuyển được và mối quan hệ vị trí của chúng là gì, những điều đó chỉ là vấn đề kinh nghiệm. Định lý tổng các góc trong một tam giác là hai góc vuông và tiên đề song song, những thứ đó chỉ có thể được kiểm chứng hoặc bác bỏ bằng thực nghiệm, như Gauss đã nhận định. Nếu chẳng hạn, tất cả các sự kiện được biểu thị bởi các định lý tương đẳng (congruent^[6]) chứng minh là phù hợp với kinh nghiệm, nhưng mặt khác, nếu tổng các góc trong một tam giác được tạo bởi các thanh cứng nhỏ hơn một góc vuông, thì không ai sẽ nghĩ rằng tiên đề song song trong không gian của vật thể thực là có hiệu lực.

[5]

Cần hết sức thận trọng khi đưa một nhận thức nào vào kho tiên nghiệm; nhiều nhận thức trước đây từng được coi là tiên nghiệm giờ đây được nhận diện là không chính xác nữa. Ví dụ ấn tượng nổi bật nhất về điều này là ý tưởng về hiện tại tuyệt đối. Không có thứ gọi là hiện tại tuyệt đối, cho dù chúng ta đã quen chấp nhận nó từ thời thơ ấu đến dường nào, bởi vì trong cuộc sống hàng ngày chúng ta chỉ xoay quanh những khoảng cách ngắn và chuyển động chậm. Nếu điều này diễn ra khác đi, không ai có thể nghĩ đến việc đưa ra thời gian tuyệt đối. Ngay cả những nhà tư tưởng sâu sắc như Newton và Kant cũng chưa bao giờ nghĩ đến việc nghi ngờ tính tuyệt đối của thời gian. Newton thận trọng thậm chí còn diễn tả yêu cầu này (của thời gian tuyệt đối) một cách rõ ràng nhất có thể: thời gian thực tuyệt đối tự nó và theo bản chất của nó trôi chảy đều và không liên quan đến bất kỳ đối tượng nào. Với mô tả đó, Newton đã thành thật ngăn chặn bất kỳ sự rút lui hay thỏa hiệp nào, và Kant, nhà triết học phê phán, đã chứng tỏ mình là người không phê phán ở đây bằng cách sẵn sàng chấp nhận Newton mà không cần suy nghĩ. Chỉ có Einstein cuối cùng mới giải phóng chúng ta khỏi định kiến này – đó sẽ luôn là một trong những chiến công phi thường nhất của tinh thần con người – và lý thuyết tiên nghiệm được áp dụng sâu rộng đến nay không thể bị dẫn chứng là phi lý một cách thuyết phục hơn bởi sự tiến bộ này của khoa học vật lý. Giả định về thời gian tuyệt đối, một trong những hệ quả khác, là kéo theo hệ quả cho định lý về phép cộng vận tốc khi hai vận tốc được kết hợp lại — bản thân cũng là một định lý dường như khó có thể vượt qua về mặt hiển nhiên và tính dễ hiểu phổ biến của nó — nhưng các thí nghiệm đa dạng nhất trong lĩnh vực quang học, thiên văn học và lý thuyết điện lại cho thấy một cách thuyết phục rằng định lý về phép cộng vận tốc này là không chính xác; thực tế có một định luật khác phức tạp hơn cho sự kết hợp của hai vận tốc.^[7]

Chúng ta có thể nói: trong thời gian gần đây, quan điểm về tính chất thực nghiệm của hình học do Gauss và Helmholtz đề xướng đã trở thành một thành quả chắc chắn của khoa học. Ngày nay nó phải phục vụ như một điểm quy chiếu vững chắc cho mọi suy đoán triết học liên quan đến không gian và thời gian. Vì lý thuyết hấp dẫn của Einstein làm cho điều này rõ ràng: hình học không gì khác hơn là một nhánh của vật lý học; các chân lý hình học về mọi phương diện cơ bản không khác biệt gì với các chân lý vật lý. Ví dụ: định lý Pythagore và định luật hấp dẫn của Newton có liên quan với nhau về bản chất, trong chừng mực chúng bị chi phối bởi cùng một khái niệm vật lý cơ bản, đó là thế (potential). Nhưng đối với mọi người sành sỏi về thuyết hấp dẫn của Einstein còn nhiều hơn nữa: hai định luật này, rất khác nhau và cho đến nay rõ ràng là rất cách xa nhau, một cái là một định lý về hình học căn bản được biết từ thời Cổ đại và được dạy khắp nơi trong trường học, cái kia một định luật chi phối tác động của các khối lượng lên nhau, chúng không chỉ có cùng đặc tính, mà chỉ là các phần của một và cùng một định luật tổng quát.

Sự giống nhau cơ bản của các thực tế hình học và vật lý khó có thể lộ diện rõ ràng hơn. Tất nhiên, trong cấu trúc logic thông thường và trong những trải nghiệm thông thường hàng ngày quen thuộc từ thời thơ ấu của chúng ta, các mệnh đề hình học và động học đi trước các mệnh đề động lực học, và hoàn cảnh này giải thích việc người ta quên rằng tất cả là kinh nghiệm. Vì vậy, chúng ta thấy: Lý thuyết tiên nghiệm của Kant vẫn chứa đựng những rỉ sét do con người tạo ra, và nó cần phải được giải phóng khỏi chúng, và sau quá trình loại bỏ, chỉ còn lại cái quan điểm tiên nghiệm phục vụ làm nền tảng cho nhận thức toán học thuần túy: về cơ bản, đó là quan điểm sau cùng được tôi đặc trưng trong nhiều công trình nghiên cứu.^[8]

[6]

Công cụ trung gian giữa lý thuyết và thực hành, giữa tư duy và quan sát là toán học. Nó xây dựng cầu nối và làm cho chiếc cầu này ngày càng vững chắc hơn. Cho nên, toàn bộ nền văn hóa hiện tại của chúng ta, trong chừng mực dựa trên nhận thức về tự nhiên và sự làm cho nó có ích, tìm thấy nền tảng của mình trong toán học. Galilei đã từng nói: Người ta chỉ có thể hiểu được tự nhiên khi học được ngôn ngữ của nó và quen thuộc với các ký hiệu mà qua đó tự nhiên nói với chúng ta. Nhưng ngôn ngữ này là toán học, và các ký hiệu chính là những hình thể toán học. Kant từng quả quyết: “Tôi cho rằng trong mỗi môn khoa học tự nhiên đặc biệt, chúng ta chỉ có thể tìm thấy khoa học đích thực trong chừng mực nó chứa nội hàm toán học trong đó.” Sự thật: Chúng ta chỉ làm chủ được một lý thuyết khoa học khi chúng ta tách được cái nhân toán học của nó ra và bóc trần nó hoàn toàn khỏi vỏ. Không có toán học, không thể có ngành thiên văn học và vật lý học ngày nay; những ngành khoa học này, trong những phần lý thuyết của chúng, đều hiện ra ở dạng toán học. Những ứng dụng này, cũng như vô số những ứng dụng khác, là những gì đã giúp cho toán học làm nên tên tuổi mà nó có được với đông đảo công chúng.

Mặc dù vậy, tất cả các nhà toán học đã từ chối lấy ứng dụng làm thước đo giá trị cho toán học. Ông hoàng của các nhà toán học, Gauss, người chắc chắn đồng thời là một nhà toán học ứng dụng xuất sắc, người đã tạo mới toàn cả các ngành khoa học, chẳng hạn như lý thuyết sai số, trắc địa, để làm cho toán học đóng vai trò chủ đạo trong đó, người mà khi các nhà thiên văn khám phá mới hành tinh Ceres – một hành tinh đặc biệt quan trọng và thú vị – nhưng để cho nó thất lạc và không thể tìm lại được, đã sáng tạo ra một lý thuyết toán học mới trên cơ sở đó ông tiên đoán chính xác vị trí của Ceres, người đã phát minh ra máy điện báo và nhiều thứ thiết thực khác, có cùng quan điểm. Lý thuyết số thuần túy là lĩnh vực toán học chưa từng được áp dụng trước đây. Nhưng chính lý thuyết số mà Gauss gọi là nữ hoàng của toán học và được ông cũng như hầu hết các nhà toán học vĩ đại tôn vinh. Gauss nói về sức hấp dẫn kỳ diệu đã làm cho lý thuyết số trở thành môn khoa học yêu thích của các nhà toán học đầu tiên, không kể đến sự phong phú bất tận của nó, mà ở đó nó vượt xa tất cả các phần khác của toán học. Gauss mô tả khi còn trẻ đã bị mê hoặc thế nào bởi sự hấp dẫn của các cuộc nghiên cứu lý thuyết số đến mức ông không thể cưỡng lại chúng được nữa. Ông ca ngợi Fermat, Euler, Lagrange và Legendre là những người nổi tiếng vô song vì đã mở ra cánh cửa đến thánh địa của khoa học thần thánh này, và cho thấy nó chứa đầy những kho báu như thế nào. Và các nhà toán học trước Gauss và những người sau Gauss, chẳng hạn như Lejeune Dirichlet, Kummer, Hermite, Kronecker và Minkowski, cũng phát biểu một cách nhiệt tình tương tự. Kronecker so sánh các nhà lý thuyết số với những người ăn hạt sen, một khi đã nếm thử món này, họ sẽ không bao giờ dừng lại được.

Galileo Galilei, Henri Poincaré và Carl Gustav Jacob Jacobi

Poincaré, nhà toán học lỗi lạc nhất trong thế hệ của ông, người về cơ bản đồng thời là nhà vật lý và nhà thiên văn học, cũng có cùng quan điểm. Poincaré đã từng quay sang chống lại Tolstoi với sự sắc bén đặc biệt, người đã tuyên bố rằng đòi hỏi “khoa học vì lợi ích của khoa học” là điên rồ. “Liệu chúng ta,” Tolstoi nói, “hướng dẫn bản thân trong việc lựa chọn nghề nghiệp của mình theo tính khí của óc tò mò của chúng ta hay không? Quyết định dựa trên sự hữu dụng, tức là, theo nhu cầu thực tế và đạo đức của chúng ta không tốt hơn hay sao?” Kỳ lạ, chính Tolstoi lại là người mà các nhà toán học chúng ta phải bác bỏ như một người theo chủ nghĩa hiện thực nông cạn và theo chủ nghĩa vị lợi hẹp hòi. Poincaré lập luận chống lại Tolstoi rằng, nếu người ta tiến hành theo công thức của Tolstoi, thì khoa học sẽ không bao giờ ra đời. Bạn chỉ cần mở mắt ra, Poincaré kết luận, để thấy chẳng hạn những thành tựu của ngành công nghiệp sẽ không bao giờ được nhìn thấy ánh sáng nếu những người thực hành này tồn tại một mình, và nếu những thành tựu này không được thúc đẩy bởi những kẻ ngu xuẩn bất vụ lợi, những người không bao giờ nghĩ đến việc khai thác hữu dụng. Tất cả chúng ta đều có cùng quan điểm.

Nhà toán học vĩ đại của chúng ta Jacobi ở Königsberg cũng nghĩ vậy, Jacobi, người mà tên tuổi đứng cạnh Gauss và vẫn được mọi sinh viên trong các môn học của chúng ta gọi với sự tôn kính. Khi nhà toán học nổi tiếng Fourier một lần nói rằng mục đích chính của toán học là để giải thích các hiện tượng tự nhiên, thì chính Jacobi đã quở trách ông với tất cả tính khí sôi nổi của ông. Một triết gia, như chính Fourier, Jacobi kêu lên, lẽ ra phải biết rằng sự tôn vinh tinh thần con người là mục đích duy nhất của mọi ngành khoa học, và rằng từ quan điểm này, một vấn đề của lý thuyết số thuần túy cũng đáng giá như một vấn đề phục vụ cho các ứng dụng.

Bất cứ ai cảm nhận được chân lý của lối suy nghĩ và thế giới quan rộng mở toát ra từ những lời này của Jacobi sẽ không rơi vào chủ nghĩa hoài nghi thoái lui và phù phiếm; anh ta sẽ không tin vào những kẻ với vẻ mặt triết học và giọng điệu cao siêu, tiên đoán về sự suy tàn của văn hóa và rơi vào chủ nghĩa “chúng ta sẽ không biết” (ignorabimus). Đối với nhà toán học không có ignorabimus, và theo tôi, cũng không hề có điều đó đối với khoa học. Nhà triết học Comte đã từng nói—với ý định nêu ra một vấn đề chắc chắn không thể giải quyết được—rằng khoa học sẽ không bao giờ thành công trong việc khám phá bí mật về sự cấu thành hóa học của các thiên thể. Vài năm sau, vấn đề này đã được giải quyết bằng phân tích quang phổ của Kirchhoff và Bunsen, và ngày nay có thể nói rằng chúng ta sử dụng các ngôi sao xa xôi nhất làm những phòng thí nghiệm vật lý và hóa học quan trọng nhất, điều mà chúng ta hoàn toàn không tìm thấy trên trái đất. Theo tôi, lý do thực sự khiến cho Comte không thành công trong việc tìm ra một bài toán không thể giải được là không có cái gọi là bài toán không giải được. Thay vì “chủ nghĩa chúng ta không biết” điên khùng, giải pháp của chúng ta ngược lại là:

Chúng ta phải biết,

Chúng ta sẽ biết

(Wir müssen wissen

Wir werden wissen)

David Hilbert

Xem thêm:

DAVID HILBERT: DIỄN TỪ BỐN PHÚT BẤT HỦ TRÊN ĐÀI PHÁT THANH NĂM 1930

Một quyển sách rất hay nói về Hilbert và thời đại của ông:

Constance Reid, Hilbert. Springer-Verlag, 1970.

Nguồn: David Hilbert: Nhận thức tự nhiên và logic học, Rosetta.Vn, 11 Tháng Hai, 2023

Chú thích:

[1] Logic học (Logik, hay logics) được hiểu là khoa học về tư duy, về cấu trúc, hình thái và quy luật của tư duy; học thuyết về tư duy logic, về suy luận trên cơ sở các mệnh đề đã cho. Tiếng Anh được viết: Logic and the knowledge of nature. Logic cũng có nghĩa là logic học. Ban đầu tôi cũng viết “logic” thôi và có chủ giải, cho gọn. Môn logic đã được dạy rộng rãi tại các đại học Trung cổ như một sự bắt buộc để rèn luyện năng lực tư duy con người.

[2] Tôi lược bớt một thí dụ liên quan đến sinh học để tập trung hơn.

[3] Thí nghiệm Michelson góp phần vào việc xây dựng tiên đề cho Thuyết tương đối hẹp nhiều hơn là thuyết tương đối rộng.

[4] Các định luật vật lý đều phải xuất phát từ kinh nghiệm, rồi trở về kinh nghiệm như Einstein nói: “Tất cả tri thức về thực tại xuất phát từ kinh nghiệm, và cuối cùng trở về nó”. Điều đó đúng, nhưng bằng con đường nào? Einstein quan niệm rằng phải thông qua con đường “trước tác tự do” (freie Schöpfung) của tinh thần con người, không thể được rút ra từ những trải nghiệm giác quan một cách quy nạp. Đó là phần sáng tạo của mỗi nhà khoa học. Không có con đường suy luận logic thuần túy nào dẫn trực tiếp từ kinh nghiệm tới các định luật. Cũng không có con đường bằng thuyết tiên nghiệm, a priori, của Kant. Đây là một đề tài quan trọng, tôi hy vọng sẽ có dịp trở lại sau trình bày nhiều hơn.

[5] Immanual Kant trình bày ý tưởng nhận thức tiên nghiệm (a priori) trong quyển sách Phê phán Lý tính thuần túy. Xem bản dịch của học giả Bùi Văn Nam Sơn.

[6] Có cùng dạng và kích cỡ

[7] Xem sách Thuyết tương đối hẹp và rộng của Einstein, chương 6 và 13, do Nguyễn Xuân Xanh chuyển ngữ. Nxb Tổng hợp TP HCM. Einstein giải thích rõ hơn.

[8] 1 Vgl. Über das Unendliche, Mathem. Ann. 95; Die Grundlagen der Mathematik, Abh. a. d. mathem. Sem. d. Hamburgischen Universität 6. (chú thích của Hilbert)